Хилбертово пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Тази статия се нуждае от подобрение.
Необходимо е: форматиране. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства. Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение,в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и,което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.

Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.

[редактиране] Дефиниция и примери

Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и,в което модула се определя от скаларното произведение $\langle\cdot,\cdot\rangle$ посредством формулата:

$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ .

[редактиране] Събиране

Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:

$H_1\oplus H_2$ ,

състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и скаларното произведение

$\langle (x_1,x_2), (y_1,y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2} = \langle x_1,y_1\rangle_{H_1} + \langle x_2,y_2\rangle_{H_2}$ .

Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:

$\bigoplus_{i\in I}H_i$

състояща се от множеството от всички индексирани фамилии

$x=(x_i\in H_i|i\in I) \in \prod_{i\in I}H_i$

от картезиански произведения от Hi, такива че

$\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty$ .

Скаларно произведение се нарича

$\langle x, y\rangle = \sum_{i\in I} \langle x_i, y_i\rangle_{H_i}$ .

Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.

Нещо повече пространствата Hi са взаимно ортогонални.

[редактиране] Външни препратки

[]

[редактиране] Източници

[редактиране] Вижте също

Обозначения[1]

Помощ MP3 :