femmes russes

Heronův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníka v případě, že jsou všechny jeho strany dány.

Obsah

1 Vzorec
2 Důkaz
3 Historie
4 Související články
5 Externí odkazy
6 Poznámky

[editovat] Vzorec

$S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)}$

kde $s= \frac {a + b +c}{2}$

[editovat] Důkaz

Pro trojúhelník na obrázku platí:

$\ x^2 + v^2 = c^2$

$\ (a-x)^2 + v^2 = b^2$

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

$\ a^2 - 2ax = b^2 - c^2$

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

$x= \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}$

Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme v:

$\ v^2 = c^2 - x^2$

$v^2 = c^2 - \left(\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2$

$v^2 = c^2 - \frac {\left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}$

$v^2 =\frac{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}$

$v =\frac{\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{2a}$

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku, dostaneme:

$S= \frac {av}{2}$

$S= \frac {\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{4}$

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

$S= \frac {\sqrt{\left(2ac + a^2 + c^2 - b^2\right)\left(2ac - a^2 - c^2 + b^2\right)}}{4}$

$S= \frac {\sqrt{\left[\left(a + c \right)^2 - b^2\right]\left[b^2 - \left(a - c \right)^2\right]}}{4}$

$S= \frac {\sqrt{\left(a + c + b\right)\left(a + c - b\right)\left(b + a - c\right)\left(b - a + c\right)}}{4}$

Dosadíme s z Heronova vzorce:

$\ a + b + c = 2s$

$S= \frac {\sqrt{2s\left(2s - 2a\right)\left(2s - 2b\right)\left(2s - 2c\right)}}{4}$

$S= \frac {\sqrt{16s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}}{4}$

$S= \sqrt{s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}$

[editovat] Historie

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v roce 60 př. n. l.^[1]

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

důkaz Heronova vzorce

[editovat] Poznámky

↑ http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Aktuality MP3 :

femme russe

Femme russe Heronův vzorec - Článek týdne

Blagues

Heronův vzorec - Aktuality

"Si l'homme russe construit les routes, la femme russe trace les chemins."

"Lorsque les femmes russes ne vivront pas seulement à travers leur mari, les hommes russes n'auront plus peur de l'amour ni de la force de la femme russe et n'auront plus besoin de la faiblesse de l'autre pour être sûrs de leur masculinité."

© 2008 Netencyclo - Netencyclo Hlavní strana - Vyloučení odpovědnosti - Ochrana osobních údajů - Program Policies
Netencyclo, the Wikipedia mirror : the biggest multilingual free-content encyclopedia on the Internet. Stránka byla naposledy editována v 16:32, 17. 5. 2007. Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (vizte Autorské právo pro podrobnosti). All Wikipedia content is licensed under the GNU Free Documentation License (see details). Content on this web site is provided for informational purposes only. We accept no responsibility for any loss, injury or inconvenience sustained by any person resulting from information published on this site. We encourage you to verify any critical information with the relevant authorities.

- Heronův vzorec -