Plocha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o geometrické ploše. O virtuální ploše v počítači pojednává článek Plocha (operačního systému).

Plocha označuje v matematice a fyzice prostor dimenze 2. Lokálně můžeme měřit body plochy dvěma nezávislými čísly. Příkladem plochy je povrch třírozměrné koule, plášť válce, nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Pojem plocha se používá nejen pro označení geometrického útvaru v prostoru, ale také pro označení obsahu geometrického obrazce. Body a přímky mají nulovou plochu. Plocha čtverce o stranách a a b je $a\times b$ . V závislosti na definici může mít objekt i nekonečnou plochu, např. celá (neomezená) rovina.

[editovat] Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme jí definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

F (x, y, z) = 0

kde $F$ je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce $F$ má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

[editovat] Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

F (x, y, z) = 0

[editovat] Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

x = x (u, v)

y = y (u, v)

z = z (u, v)

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž $u, v$ jsou parametry plochy. Každou dvojici $u, v$ z určitého oboru $Ω$ nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na $Ω$ spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle $u$ a $v$ .

[editovat] Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

z = f (x, y)

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

[editovat] Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy $\mathbf{n}$ , rádiusvektorem $\mathbf{r}$ a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ uvést v různých tvarech.

[editovat] Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů $\mathbf{n}$ a $\mathbf{r}$ .

$\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}$

$\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}$

$\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}$

$\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}$

kde $E, F, G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L, M, N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

[editovat] Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru $\mathbf{r}$ .

$\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}$

$\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}$

$\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}$

kde $E, F, G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L, M, N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

[editovat] Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu $E, F, G$ a základními veličinami plochy druhého řádu $L, M, N$ .

$(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0$

$(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0$

[editovat] Vlastnosti

Zavedeme matici

$\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}$

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost $h = 2$ jsou regulárními body. Je-li hodnost matice $h < 2$ , pak jde o singulární body.

Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v $Ω$ nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost $h = 2$ , pak plochu označujeme jako hladkou.

[editovat] Související články

Wikislovník obsahuje slovníkovou definici slova plocha.

Aktuality MP3 :

femme russe

Femme russe Plocha - Článek týdne

Blagues

Plocha - Aktuality

"Si l'homme russe construit les routes, la femme russe trace les chemins."

"Lorsque les femmes russes ne vivront pas seulement à travers leur mari, les hommes russes n'auront plus peur de l'amour ni de la force de la femme russe et n'auront plus besoin de la faiblesse de l'autre pour être sûrs de leur masculinité."

© 2008 Netencyclo - Netencyclo Hlavní strana - Vyloučení odpovědnosti - Ochrana osobních údajů - Program Policies
Netencyclo, the Wikipedia mirror : the biggest multilingual free-content encyclopedia on the Internet. Stránka byla naposledy editována v 16:32, 17. 5. 2007. Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (vizte Autorské právo pro podrobnosti). All Wikipedia content is licensed under the GNU Free Documentation License (see details). Content on this web site is provided for informational purposes only. We accept no responsibility for any loss, injury or inconvenience sustained by any person resulting from information published on this site. We encourage you to verify any critical information with the relevant authorities.

- Plocha -