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Gamme pythagoricienne

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Acoustique musicale

Gamme musicale

Gammes et tempéraments

Mesure des intervalles

La gamme pythagoricienne est une gamme musicale construite sur des intervalles de quintes justes, dont le rapport de fréquences vaut 3/2. Elle a servi de base pour établir la gamme tempérée.

Cette gamme tient son nom du grec Pythagore, à qui la découverte a été attribuée par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation de gammes musicales basées sur des quintes remonte aux babyloniens vers le IV^e millénaire av. J.-C.^[1].

C'est la plus ancienne manière d'accorder les instruments à sons fixes, elle a été en usage jusqu'à la fin du Moyen Âge.

[modifier] Construction

L'idée est de construire une gamme musicale basée uniquement sur des intervalles à consonance pure, c'est-à-dire caractérisés en acoustique par l'absence de battements. À l'époque de Pythagore, seuls l'unisson, l'octave, la quarte et la quinte étaient considérés comme consonants : l'unisson et l'octave ne permettant pas de construire une échelle, la quinte a été choisie pour son rapport le plus simple (3/2), contre 4/3 pour la quarte.

En termes de fréquences, un intervalle de quinte juste se construit en multipliant la note de base par 3/2. En continuant, on obtient une suite ascendante d'intervalles à consonance pure : si on part de la note ayant pour fréquence 200 Hz, la suivante aura une fréquence de 300 Hz, puis 450 Hz, 675 Hz, etc.

Au bout de 12 quintes consécutives, on retombe sur une note très proche de celle de départ (si on tient compte du principe d'équivalence des octaves). Cet intervalle de 12 quintes représente une étendue légèrement supérieure à 7 octaves, plus grande d'un comma pythagoricien. La dernière quinte est raccourcie pour donner exactement 7 octaves, elle forme la quinte dite « du loup ».

Pour construire une gamme musicale avec ces notes, on les ramène une même octave, soit un intervalle de rapport 2/1. On peut choisir pour l'exemple précédent l'octave comprise entre 200 Hz et 400 Hz, et diviser par une puissance de 2 les fréquences se situant au-dessus des 400 Hz, ce qui donnera 337,5 Hz pour celle de 675 Hz.

La gamme obtenue possède des intervalles assez réguliers pour servir de référence à l'accordage d'instruments de musique.

[modifier] Notation

Construction de la gamme pythagoricienne en montant par quintes successives à partir de do. On descend chaque fois que possible d'une octave afin de rester dans la même (représentée en bleu ciel) : on passe par toutes les notes de la gamme chromatique avant de revenir au do initial.

En utilisant le solfège, il est possible de reconstruire un équivalent de la gamme pythagoricienne, en formant le cycle des quintes.

En partant du do par exemple, on monte chaque fois d'une quinte juste, dont l'étendue vaut trois tons et demi. Ce qui donne la suite :

do - sol - ré - la - mi - si - fa♯ - do♯ - sol♯ - ré♯ - la♯ - mi♯ - si♯ ...

Sur un piano, en partant du do le plus à gauche du clavier, on avance de quinte en quinte en se déplaçant chaque fois de 7 touches (touches noires comprises).

[modifier] Notes altérées

Par convention, on utilise le dièse pour les notes altérées dans la suite des quintes ascendantes, et le bémol dans la suite des quintes descendantes. Il n'y a pas d'enharmonie puisque cette gamme n'est pas tempérée, le do♯ n'a donc pas la même fréquence que le ré♭.

La suite des quintes descendantes en partant de do, commence par :

do - fa - si♭ - mi♭ - la♭ - ré♭ - sol♭ - do♭ - fa♭ - si♭♭ - mi♭♭ - la♭♭ - ré♭♭ ...

L'intervalle formé par une note et sa version diésée s'appelle l'apotome, l'intervalle formé par une note et sa version bémolisée s'appelle le limma.

Clavier à 19 touches par octave imaginé par Zarlino, distinguant dièses et bémols

Pour les quintes ascendantes, on a les intervalles :

do - apotome - do♯ - limma - ré

Pour les quintes descendantes :

do - limma - ré♭ - apotome - ré

Les notes bémolisées sont inférieures d'un comma pythagoricien à leurs notes conjointes diésées, ainsi les notes sont dans l'ordre : do - ré♭ - do♯ - ré (cette propriété est particulière à la gamme de Pythagore).

[modifier] Gamme pythagoricienne

On appelle gamme pythagoricienne toute gamme musicale fondée uniquement sur des intervalles d'octaves et de quintes acoustiquement pures. Un telle gamme contient aussi des quartes pures, renversements des quintes.

À partir de la suite des quintes descendantes et ascendantes :

... - fa♭ - do♭ - sol♭ - ré♭ - la♭ - mi♭ - si♭ - fa - do - sol - ré - la - mi - si - fa♯ - do♯ - sol♯ - ré♯ - la♯ - ...

il suffit de prendre un cycle de 12 notes consécutives pour former une gamme équivalente à la gamme chromatique, par exemple :

mi♭ - si♭ - fa - do - sol - ré - la - mi - si - fa♯ - do♯ - sol♯

La quinte du loup sera placée dans l'intervalle le moins utilisé, souvent sol♯ - mi♭. Selon le choix de la note de départ, on obtiendra différents modes pour les sept notes de base. La gamme majeure se définit selon les rapports suivants :

Gamme majeure pythagoricienne
Note	do		ré		mi		fa		sol		la		si		do
Rapport	1/1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2/1
Ecarts		9/8		9/8		256/243		9/8		9/8		9/8		256/243

Les notes bémolisées n'ayant pas la même valeur que les notes diésées, on prendra comme référence de notation les 17 notes comprises entre le sol♭ et le la♯ inclus : le do♭ ramène au si et le mi♯ ramène au fa. Une gamme particulière peut se définir par ses écarts (en plus ou en moins) par rapport au tempérament égal :

Notes	Do	Do♯/Ré♭	Ré	Ré♯/Mi♭	Mi	Fa	Fa♯/Sol♭	Sol	Sol♯/La♭	La	La♯/Si♭	Si
Écarts	0	+9.78	-3.91	+5.87	-7.82	+1.96	± 11.73	-1.96	+7.82	-5.87	+3.91	-9.78

[modifier] Intervalles caractéristiques

Quinte du loup et comma sur le cercle représentant sept octaves

[modifier] Quinte du loup

La douzième quinte dépassant légèrement l'octave (d'un comma ditonique), la dernière quinte du cycle est réduite pour former l'octave juste. Cette quinte plus petite est inutilisable en musique : elle sonne faux. On dit qu'elle hurle, et se nomme « quinte du loup ». C'est cet inconvénient qui donnera lieu aux autres tempéraments.

Dans la pratique, les musiciens qui préfèrent utiliser des octaves pures accordent leurs instruments sur une gamme pythagoricienne en reportant la quinte du loup dans un intervalle peu utilisé, comme par exemple sol♯ - mi♭. Les intervalles englobant la quinte du loup sonneront faux aussi, il faut donc soigneusement l'éviter.

Le rapport de la quinte du loup se calcule en enlevant 11 quintes justes aux 7 octaves considérées :

$\frac{2^7}{\frac{3^{11}}{2^{11}}}=\frac{2^{18}}{3^{11}}\approx 1,480$

Par exemple, si cette quinte commence à 500 Hz, l'intervalle se terminera à 739,9 Hz.

[modifier] Comma pythagoricien

Article détaillé : comma pythagoricien.

Le comma pythagoricien, ou comma ditonique, représente la différence entre 12 quintes pures et 7 octaves. Soit une étendue de 1,36% sur l'ensemble des 7 octaves. Bien que très faible, il est tout à fait audible. Il est quasiment égal à 23,46 cents, soit presque un huitième de ton.

Son rapport exact se calcule en divisant le rapport des 12 quintes par celui des 7 octaves :

$\frac{3^{12}}{2^{12}}/2^7 =\frac{3^{12}}{2^{19}} \approx 1,0136$

Si le comma commence à 500 Hz, l'intervalle se terminera à 506,8 Hz.

[modifier] Apotome

L'apotome est l'intervalle compris entre une note et son altération diésée. Il a toujours la même étendue et a pour rapport 3⁷/2¹¹. L'apotome est avec le limma l'un des deux demi-tons de la gamme pythagoricienne. Ces deux demi-tons n'étant pas égaux, il est difficile de transposer (jouer un même morceau avec une note tonique différente) ou de moduler (changement, même temporaire, de tonalité au cours du même morceau) dans cette gamme.

[modifier] Limma

Le limma est l'intervalle compris entre une note et son altération bémolisée. Il a toujours la même étendue et a pour rapport 2⁸/3⁵. C'est le demi-ton diatonique de la gamme pythagoricienne.

[modifier] Ton pythagoricien

Le ton pur pythagoricien a pour rapport 9/8 : deux quintes successives forment une neuvième, qui est une seconde redoublée. La neuvième réduite à l'octave donne le rapport : (3/2*3/2) / 2 = 9/8.

[modifier] Tierce pythagoricienne

La tierce majeure, qui vaut deux tons purs successifs, a pour rapport 9/8*9/8 = 81/64 dans la gamme pythagoricienne. Elle diffère légèrement de la tierce pure de rapport 5/4 = 80/64. La différence entre ces deux tierces est le comma syntonique.

[modifier] Description mathématique

À partir d'une note donnée, pour monter d'une quinte, il faut multiplier sa fréquence par 3/2 ; de même, pour descendre d'une quinte, il faut diviser sa fréquence par 3/2 (ou la multiplier par 2/3). Un changement d'octave se fait en multipliant ou en divisant la fréquence d'une note par 2.

Ainsi, monter de 12 quintes revient à multiplier la fréquence de la note de départ par :

$(3/2)^{12} \approx 129,75$

et monter de 7 octaves revient à multiplier la fréquence par 2⁷ = 128.

Le rapport des notes successives du cycle des 12 quintes est donc en partant de 1 :

Cycle des quintes fermé (la dernière note est celle de la septième octave)
Quintes	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Rapports	1	3/2	3²/2²	3³/2³	3⁴/2⁴	3⁵/2⁵	3⁶/2⁶	3⁷/2⁷	3⁸/2⁸	3⁹/2⁹	3¹⁰/2¹⁰	3¹¹/2¹¹	3¹²/2¹²

On ramène ensuite toutes les notes dans la même octave en divisant les rapports par une puissance de deux, sauf pour la dernière qui donne la quinte du loup en prenant la valeur de l'octave supérieure, soit 2. Puis on trie valeurs dans l'ordre croissant pour obtenir une échelle musicale, et enfin on calcule l'écart des rapports entre chaque note :

Rapports ramenés dans l'intervalle [1 ; 2] et triés
Quintes	0	7		2		9		4		11		6		1		8		3		10		5		12
Rapports	1	3⁷/2¹¹		3²/2³		3⁹/2¹⁴		3⁴/2⁶		3¹¹/2¹⁷		3⁶/2⁹		3/2		3⁸/2¹²		3³/2⁴		3¹⁰/2¹⁵		3⁵/2⁷		2
Écarts	3⁷/2¹¹		2⁸/3⁵		3⁷/2¹¹		2⁸/3⁵		3⁷/2¹¹		2⁸/3⁵		2⁸/3⁵		3⁷/2¹¹		2⁸/3⁵		3⁷/2¹¹		2⁸/3⁵		2⁸/3⁵
Noms	fa	fa♯		sol		sol♯		la		la♯		si		do		do♯		ré		ré♯		mi		fa

On s'aperçoit qu'il n'y a que deux valeurs différentes pour les écarts :

le plus grand est l'apotome, qui vaut 3⁷/2¹¹ (environ 1,0679),
le plus petit est le limma, qui vaut 2⁸/3⁵ (environ 1,0535).

La somme des ces deux intervalles vaut un ton : (3⁷/2¹¹)*(2⁸/3⁵) = 3²/2³ = 9/8.
La différence entre ces deux intervalles vaut exactement le comma pythagoricien : (3⁷/2¹¹)*(3⁵/2⁸) = 3¹²/2¹⁹.

En repérant les tons (couples apotome + limma) et les demi-tons diatoniques (limmas seuls), on peut donner aux notes les noms de la gamme naturelle, avec les notes dièsées puisque l'on a utilisé uniquement des quintes ascendantes. La quinte du loup est alors l'intervalle fa - do.

[modifier] Gamme majeure

La gamme pythagoricienne majeure contient la quarte pure (rapport 4/3). On remarque qu'en remplaçant l'intervalle qui s'en rapproche le plus, celui de 11 quintes (rapport 3¹¹/2¹⁷), par la quarte, les apotomes et limmas sont conservés :

Gamme majeure (incluant la quarte juste)
Quintes	0	7		2		9		4		11		6		1		8		3		10		5		12
Rapports	1	3⁷/2¹¹		3²/2³		3⁹/2¹⁴		3⁴/2⁶		4/3		3⁶/2⁹		3/2		3⁸/2¹²		3³/2⁴		3¹⁰/2¹⁵		3⁵/2⁷		2
Écarts	apo.		lim.		apo.		lim.		lim.		apo.		lim.		apo.		lim.		apo.		lim.		lim.
Noms	do	do♯		ré		ré♯		mi		fa		fa♯		sol		sol♯		la		la♯		si		do

Cette substitution déplace la quinte du loup entre le la♯ et le fa : (4/3) / (3¹⁰/2¹⁵) = 2¹⁷/3¹¹, en multipliant par deux pour se remettre dans l'octave [1 ; 2] on retrouve la valeur de la quinte du loup.

[modifier] Représentation graphique

Il est possible de représenter une gamme pythagoricienne particulière en mettant les apotomes et les limmas les uns à la suite des autres selon les intervalles obtenus, le limma étant plus court que l'apotome d'un comma.

Le diagramme ci-dessus propose une approximation en donnant à l'apotome une valeur de 5 commas, et au limma une valeur de 4 commas. Cette commodité donne à l'octave une valeur 53 commas (5 apotomes + 7 limmas = 5 * 5 + 7 * 4 commas). Or, les 53 commas dépassent légèrement le rapport d'octave :

$(\frac{3^{12}}{2^{19}})^{53} \approx 2,0507$

Si on considère le tableau suivant qui donne les rapports des intervalles valant de 1 à 9 commas (en valeur approchée) :

Commas	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Rapports	1,013	1,027	1,041	1,056	1,070	1,085	1,100	1,115	1,130

on peut choisir les approximations suivantes :

le ton, qui vaut exactement 9/8 = 1,125, s'approche le plus des 9 commas,
l'apotome, qui vaut exactement 3⁷/2¹¹ soit environ 1,068, s'approche le plus des 5 commas,
le limma, qui vaut exactement 2⁸/3⁵ soit environ 1,054, s'approche le plus des 4 commas.

Le « comma de Holder » divise exactement 53 fois l'octave. Ce comma, qui vaut environ 22,6415 cents, est très proche du comma pythagoricien. Il est à la base d'un tempérament par division multiple. Un autre comma proche du comma pythagoricien est le comma syntonique (environ 21,5 cents).

[modifier] Tableaux de synthèse

Valeur des intervalles en apotomes et limmas
Intervalle	Valeur
comma	1 apotome - 1 limma
ton	1 apotome + 1 limma
tierce	2 apotomes + 2 limmas (2 tons)
quarte	2 apotomes + 3 limmas
quinte du loup	2 apotomes + 5 limmas
quinte	3 apotomes + 4 limmas
octave	5 apotomes + 7 limmas
7 octaves	35 apotomes - 49 limmas
12 quintes	36 apotomes + 48 limmas

Rapports, fréquences et cents pour la gamme pythagoricienne majeure
Note	Rapport avec do	Fréquence pour la = 440 Hz	Cents	Cents gamme tempérée
do	1/1 (1,000)	260,74	0	0
ré♭	256/243 (1,053)	274,69	90	100
do♯	2187/2048 (1,068)	278,44	114	100
ré	9/8 (1,125)	293,33	204	200
mi♭	32/27 (1,185)	309,03	294	300
ré♯	19683/16384 (1,201)	313,24	318	300
mi	81/64 (1,266)	330,00	408	400
fa	4/3 (1,333)	347,65	498	500
sol♭	1024/729 (1,405)	366,25	588	600
fa♯	729/512 (1,424)	371,25	612	600
sol	3/2 (1,500)	391,11	702	700
la♭	128/81 (1,580)	412,03	792	800
sol♯	6561/4096 (1,602)	417,66	816	800
la	27/16 (1,688)	440,00	906	900
si♭	16/9 (1,778)	463,54	996	1000
la♯	59049/32768 (1,802)	469,86	1020	1000
si	243/128 (1,898)	495,00	1110	1100
do	2/1 (2,000)	521,48	1200	1200

[modifier] Histoire

L'école des pythagoriciens a théorisé la gamme heptatonique dans l'harmonie des sphères en utilisant les rapports simples de nombres entiers : l'octave (rapport 2/1), la quinte (rapport 3/2) et la quarte (rapport 4/3), ces intervalles étant considérés comme les plus consonants.

Aucun texte de Pythagore ne nous est parvenu, mais on retrouve chez Platon (dans La République) les termes du rapport du limma, soit 256/243.

La gamme pythagoricienne a été progressivement délaissée au Moyen Âge lorsque l'on a commencé à considérer comme consonant l'intervalle de tierce. En particulier avec Gioseffo Zarlino qui donne une nouvelle définition de la tierce dans son Istitutioni Hamoniche en 1558. A propos de la gamme pythagoricienne, le musicologue Marc Texier explique : « Si pour l'essentiel de la musique médiévale, qui est vocale, la fausseté des tierces n'est pas un problème majeur, car bien sûr les chanteurs prennent instinctivement des libertés par rapport au carcan du tempérament en usage; Les limites du tempérament pythagoricien ont eu pour la musique instrumentale, et tout particulièrement la musique pour clavier, une incidence remarquable, retardant de près de trois siècles l'éclosion de la polyphonie sur ces instruments par rapport à la polyphonie vocale. Ce n'est qu'à partir du moment où de nouveaux tempéraments, multipliant les tierces justes, ont été utilisés que la littérature pour clavier a pu s'épanouir, à deux voix au XIVe siècle, à trois au XVe, alors que la musique vocale était à quatre parties dès la fin du XIIe. Le choix d'un tempérament n'est donc en rien négligeable, il induit pour des siècles l'évolution de la musique.»^[2]

Les propriétés mathématiques de la gamme pythagoricienne lui ont donné dans l'Antiquité un caractère magique, Jean-Philippe Rameau a même eu l'idée que la musique était la base des mathématiques.

[modifier] Notes

↑ (en) West, M.L., "The Babylonian Musical Notation and the Hurrian Melodic Texts", Music & Letters, Vol. 75, no. 2., May, 1994, pp. 161-179
↑ http://audiolabo.free.fr/revue1999/content/texier.htm#q

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Bibliographie et sources

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pythagorean tuning ».
Pierre-Yves Asselin : Musique et tempéraments (Québec), Editions Jobert, 2000 - ISBN 2-905-335-00-9
Devie Dominique, Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
Roland de Candé, Dictionnaire de musique, Éditions du Seuil, coll. « Microcosme », 1961 (ISBN 2-02-000297-3)
Patrice Bailhache : Une histoire de l'acoustique musicale - CNRS Editions Paris 2001 - ISBN 2-271-05840-6
Moreno Andreatta : "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XXe siècle : aspects théoriques, analytiques et compositionnels", thèse, EHESS/IRCAM, 2003 (disponible en ligne à l’adresse: http://www.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/).
Edith Weber : La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, N°2 (1965), pp. 241-243 - doi:10.2307/927346
Edmond Costère : Lois et styles des harmonies musicales, Paris, PUF, 1954.
Edmond Costère : Mort ou transfiguration de l’harmonie, Paris, PUF, 1962.
Franck Jedrzejewski: Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
Guerino Mazzola : The Topos Geometry of Musical Logic (in Gérard Assayag et al. (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, pp. 199-213).
Guerino Mazzola : The Topos of Music, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
François Nicolas : Quand l’algèbre mathématique aide à penser (et pas seulement à calculer) la combinatoire musicale, Séminaire, Ircam, février 2003 (disponible en ligne à l’adresse : http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/TextesNic/mamux.html).
E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.) : Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.
http://www.univosite.com/gammepythagore.html

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