Netencyclo, The wikipedia mirror - Encyklopedii : Płaszczyzna

- Płaszczyzna -

Płaszczyzna :

Płaszczyzna

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny geometrii. Zobacz też: miejscowości o nazwie Płaszczyzna.
Dwie przecinające się płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej.

Intuicja płaszczyzny wpajana jest człowiekowi kultury zachodniej od dziecka poprzez obrazowanie płaszczyzny jako karty papieru, powierzchni stołu, czy płaskiego pola rozciągających się "w nieskończoność".

W wielu innych geometriach, na przykład geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Spis treści

[edytuj] Własności

Podstawowe własności płaszczyzn opisują aksjomaty geometrii absolutnej, inne są twierdzeniami, czyli wnioskami z aksjomatów. Uwaga: niektóre z podanych własności zachodzą wyłącznie w przestrzeni trójwymiarowej.

[edytuj] Płaszczyzna euklidesowa

Jeżeli do listy wyżej wymienionych własności dodamy następujący aksjomat (tzw. V pewnik lub XI aksjomat Euklidesa):

przez dowolny punkt płaszczyzny, nie należący do danej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, można poprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą,

to otrzymamy pojęcie płaszczyzny euklidesowej. Z tym właśnie pojęciem zaznajamiamy się w szkole.

[edytuj] Opis w przestrzeni R3

R3 jest modelem dla geometrii euklidesowej i poniższy opis dotyczy oczywiście płaszczyzny euklidesowej.

[edytuj] Równanie ogólne

W przestrzeni euklidesowej R3 płaszczyzna jest zbiorem punktów, których współrzędne spełniają w danym kartezjańskim układzie współrzędnych równanie:

Ax + By + Cz + D = 0,

przy czym liczby A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zeru.

Jest to tak zwane równanie ogólne płaszczyzny. Wektor [A, B, C] jest wektorem normalnym prostopadłym do tej płaszczyzny.

[edytuj] Równanie normalne

Równanie normalne płaszczyzny, to równanie postaci:

αx + βy + γz + δ = 0.

Liczby α, β, γ interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny. Spełniają one równość:

α2 + β2 + γ2 = 1.

Przejście z postaci ogólnej do normalnej dają wzory:

α = A/N, β = B/N, γ = C/N, δ = D/N,

w których współczynnik normalizujący N odpowiada normie (długości) wektora [A, B, C]:

N=\sqrt{A^2+B^2+C^2}.

[edytuj] Równanie odcinkowe

Do opisu płaszczyzny można też użyć równania odcinkowego:

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.

Ma ono tę zaletę, że od razu daje punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych układu: są to punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

Ma również istotną wadę: nie daje się w ten sposób przedstawić żadnej płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych (wówczas wszystkie mianowniki musiałyby być równe zeru, a = b = c = 0) ani też żadnej płaszczyzny równoległej do którejkolwiek osi (wówczas odpowiedniemu współczynnikowi lub parze współczynników należałoby przypisać wartość nieskończoną, \infty).

Przejście z postaci ogólnej lub normalnej do odcinkowej dają wzory:

a = − D / A = − δ / α
b = − D / B = − δ / β
c = − D / C = − δ / γ

[edytuj] Płaszczyzna przechodząca przez trzy punkty

Ponieważ istnieje tylko jedna płaszczyzna w \mathbb R^3 przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty, dlatego można jednoznacznie wyznaczyć tą płaszczyznę, czyli jeżeli płaszczyzna przechodzi przez trzy punkty: \bold p_1 = (x_1,y_1,z_1) , \bold p_2 = (x_2,y_2,z_2) i \bold p_3 = (x_3,y_3,z_3) jest określona następującym równaniem:

\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\ x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 \end{vmatrix} = 0.

lub:

\begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} = 0

[edytuj] Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu P o współrzędnych (xP, yP, zP) od płaszczyzny m zadanej równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0 lub normalnym αx + βy + γz + δ = 0 przedstawia wzór:

d(P, m)=\frac{|Ax_P+By_P+Cz_P+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = |\alpha x_P + \beta y_P+\gamma z_P+\delta|

[edytuj] Zobacz też

Płaszczyzna - Czy wiesz...

Płaszczyzna - Artykuł na medal

© 2008 Netencyclo - Netencyclo Strona główna - # Zasady ochrony prywatności - Informacje prawne - Program Policies
Netencyclo, the Wikipedia mirror : the biggest multilingual free-content encyclopedia on the Internet. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano 01:03, 10 maja 2007. Tekst udostępniany na licencji GNU Free Documentation License. (patrz: Prawa autorskie) All Wikipedia content is licensed under the GNU Free Documentation License (see details). Content on this web site is provided for informational purposes only. We accept no responsibility for any loss, injury or inconvenience sustained by any person resulting from information published on this site. We encourage you to verify any critical information with the relevant authorities.