Twierdzenie o wiriale

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale $V = a r n$ , średnie energie spełniają zależność

$2\langle{E_k}\rangle= n\langle{E_p}\rangle$ .

Na przykład dla oscylatora harmonicznego $V = k r 2$ , a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale $\langle E_k\rangle=\langle E_p\rangle$ . Dla planety w polu grawitacyjnym $V = - k / r$ , wobec tego $2\langle E_k\rangle=-\langle E_p\rangle$ .

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk - gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

[edytuj] Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je w prosty sposób wyprowadzić z podstawowych zależności. Będziemy korzystać z podstawowych własności komutatorów (przedstawione w osobnym artykule) oraz twierdzenia Ehrenfesta:

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle$

Podstawimy $A = x p$ gdzie p jest operatorem pędu, a x operatorem położenia.

Żeby obliczyć komutator $[x p, H]$ obliczymy najpierw $[x p, T]$ gdzie T oznacza operator energii kinetycznej.

$[xp, T] = [x, T]p + x[p, T] = [x, T]p = \frac{1}{2m}[x, p^2]p = \frac{1}{2m} ( [x, p]p + p[x, p]) p = \frac{2 i \hbar}{2m} p^2 = 2i\hbar T$

Następnie obliczymy komutator [xp, V(x)] gdzie V jest energią potencjalną.

$[xp, V(x)] = [x, V(x)]p + x[p, V(x)] = x[p, V(x)] = -i \hbar x \left[\frac{d}{dx}, V(x)\right] = -i \hbar x \left(\frac{dV(x)}{dx} + V(x)\frac{d}{dx} - V(x)\frac{d}{dx}\right) = -i \hbar x \frac{dV(x)}{dx}$

W związku z tym: $[xp, H] = [xp, T] + [xp, V(x)] = i\hbar \left(2T -x \frac{dV(x)}{dx} \right)$

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta:

$\frac{d}{dt}\langle xp\rangle = 2\langle T \rangle - \left\langle x \frac{dV(x)}{dx} \right\rangle$

Twierdzenie o wiriale zachodzi gdy średnie występujące w powyższym równaniu są brane w stanie własnym hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

$\frac{d}{dt}\langle xp\rangle = \frac{d}{dt} \langle \psi|xp|\psi \rangle = \langle \dot{\psi}|xp|\psi \rangle + \langle \psi|xp|\dot{\psi}\rangle = \frac{-1}{i\hbar} \langle \psi|E xp|\psi \rangle + \frac{1}{i\hbar} \langle \psi|xp E|\psi \rangle = 0$

gdzie ψ jest stanem własnym hamiltonianu, a E energią w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$2\langle T \rangle = \left\langle x \frac{dV(x)}{dx} \right\rangle$

Przyjmując $V (x) = a x n$ dostajemy twierdzenie wirialne.

[edytuj] Linki zewnętrzne

(pl) Wykład na stronach Uniwersyteetu Jagielońskiego

Aktualności MP3 :

Twierdzenie o wiriale - Czy wiesz...

Filmour - Twierdzenie o wiriale

Twierdzenie o wiriale - Artykuł na medal

© 2008 Netencyclo - Netencyclo Strona główna - # Zasady ochrony prywatności - Informacje prawne - Program Policies
Netencyclo, the Wikipedia mirror : the biggest multilingual free-content encyclopedia on the Internet. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano 01:03, 10 maja 2007. Tekst udostępniany na licencji GNU Free Documentation License. (patrz: Prawa autorskie) All Wikipedia content is licensed under the GNU Free Documentation License (see details). Content on this web site is provided for informational purposes only. We accept no responsibility for any loss, injury or inconvenience sustained by any person resulting from information published on this site. We encourage you to verify any critical information with the relevant authorities.

- Twierdzenie o wiriale -