Математика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Матема́тика — наука, изучающая количественные и пространственные соотношения в действительном мире и человеческом воображении. Существуют совершенно иные и весьма разнообразные трактовки предмета математики и её метода, например, большинство современных математиков придерживается мнения, что математика — это наука о следствиях из непротиворечивых наборов аксиом (см.: Философия математики и История математики). Слово «математика» произошло от греч. μάθημα, означающего «науку, знание, изучение», и греч. μαθηματικός, означающего «любовь к познанию».

[править] Кратко об истории математики

Основная статья: История математики

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, годы. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

[править] Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире; например, в природе нет никакого аналога понятию простого числа. Главная задача прикладного математика — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство R_n , при n > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».^[1]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Наряду с классическим подходом в современной математике успешно существуют и неклассические, в частности, конструктивная математика.

[править] Конструктивная математика

Конструктивная математика может быть определена как неклассическое направление в математике, основанное на критерии конструктивности, в то время как классическая математика основана на критерии непротиворечивости. Согласно критерию непротиворечивости объект признаётся существующим, если он не содержит формально-логического противоречия. Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным».^[2] Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.^[3]

[править] Основные темы математики

[править] Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

$1,\;2,\;\ldots$	$0,\;1,\;-1,\;\ldots$
Натуральные числа	Целые числа
$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$	$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$
Рациональные числа	Вещественные числа
$-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$	$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$
Комплексные числа	Кватернионы

Числа — Натуральные числа — Целые числа — Рациональные числа — Вещественные числа — Комплексные числа — Гиперкомплексные числа — Кватернионы — Октонионы — Седенионы — Гипервещественные числа — Сюрреальные числа — p-адические числа — Математические постоянные — Названия чисел — Бесконечность — Базы

[править] Преобразования

$36 \div 9 = 4$			$\int 1_S\,d\mu=\mu(S)$
Арифметика	Дифференциальное и интегральное исчисление	Векторный анализ	Анализ
$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Дифференциальные уравнения	Динамические системы	Теория хаоса

Арифметика — Векторный анализ — Анализ — Теория меры — Дифференциальные уравнения — Динамические системы — Теория хаоса — Перечень функций

[править] Структуры

Теория множеств — Абстрактная алгебра — Теория групп — Алгебраические структуры — Алгебраическая геометрия — Теория чисел — Топология — Линейная алгебра — Универсальная алгебра — Теория категорий — Теория последовательностей

[править] Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.


Геометрия	Тригонометрия	Дифференциальная геометрия

Топология	Фракталы

Геометрия — Тригонометрия — Алгебраическая геометрия — Топология — Дифференциальная геометрия — Дифференциальная топология — Алгебраическая топология — Линейная алгебра — Фракталы

[править] Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

$\forall x (P(x) \Rightarrow P(x'))$
Математическая логика	Теория вычислимости	Криптография	Теория графов

Комбинаторика — Теория множеств — Теория решёток — Математическая логика — Теория вычислимости— Криптография — Дискретные функциональные системы — Теория графов — Логические исчисления

[править] Примечания

↑ Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
↑ Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
↑ Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.

[править] Онлайновые математические сервисы

С каждым днём всё большее число сайтов предоставляют сервис для математических расчётов. Большинство из них пока англоязычные (напр., [1]). Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы nigma.

[править] См. также

Электронная библиотека — список электронных математических библиотек

Коды в системах классификации знаний

УДК 51
Государственный рубрикатор научно-технической информации (ГРНТИ) (по состоянию на 2001 год): 27 МАТЕМАТИКА

[править] Ссылки

Образовательные сайты

Дискуссионные математические форумы

[править] Литература

Энциклопедии

Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.
Энциклопедия математических наук и их приложений. 1899—1934 гг. (Нем., крупнейший обзор литературы XIX века)

Популярные книги

Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей.

Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ. М.: Наука, 1987. 432 с.
Том II. Геометрия. М.: Наука, 1987. 416 с.

А. Пуанкаре. Наука и метод (текст эссе на русском и французском языках)
Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.

Разделы математики

Изображение дня :